ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO

ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO

Trata de los fenómenos relacionados con cargas eléctricas con conductores cargados eléctricamente en reposo en el vacío. En estos casos se generan campos vectoriales estáticos (campos eléctricos estáticos) y campos escalares estáticos (potenciales eléctricos estáticos).

Los campos estáticos se caracterizan por no depender del tiempo; a lo más dependen de las variables espaciales. Es decir, el campo electrostático E = E(r)  y el potencial electrostático U = U(r).

Estando las cargas eléctricas en reposo, las densidades de carga no dependen del tiempo sino solamente de las variables espaciales. La densidad volumétrica de carga eléctrica r = r(r) en C/m³, la densidad superficial s = s(r) en C/m² y la densidad lineal de l = l(r) en C/m. En consecuencia, las variaciones en el tiempo del campo y el potencial son iguales a cero.

Por otra parte, al estar en reposo las cargas eléctricas, no hay corrientes eléctricas presentes J = J(r) y por tanto no hay campos magnéticos: B = 0, H = 0.

Debido a que los fenómenos se dan en el vacío, es decir en ausencia de dieléctricos, la relación entre el desplazamiento eléctrico D y el campo eléctrico E será  D = Î_o E donde la permitividad del vacío es Î_o = 9 x 10^-12 F/m

ECUACIONES DE LA ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO

De las ecuaciones de Maxwell se deduce las siguientes ecuaciones diferenciales:

Î_o Ñ. E = r

Ñ x E = 0

Aplicando los teoremas de la divergencia y de Stokes obtenemos las ecuaciones integrales respectivas:

La primera ecuación es la expresión de lo que en Física General se denominó ley de Gauss y que ahora es solamente una propiedad deducida de las ecuaciones de Maxwell. En la ecuación integral la superficie S es una superficie cerrada cuya forma es arbitraria y que en consecuencia se elige de modo conveniente según la geometría de cada problema. El vector unitario n es un vector normal a la superficie cerrada S apuntando hacia el exterior. Por otra parte, V representa el volumen encerrado por la superficie cerrada S.

El significado de la primera ecuación es que las líneas del campo electrostático son siempre líneas abiertas que nacen de una carga positiva y llegan a una negativa. En caso que solamente hubiera cargas positivas o cargas negativas, las líneas de campo son abiertas y van hacia el infinito o proceden de allí. Equivalentemente, el significado de la primera ecuación es que los monopolos eléctricos sí existen; es decir que se pueden aislar cargas eléctricas positivas o negativas.

La segunda ecuación expresa que el campo electrostático es conservativo; es decir, que el trabajo en trasladar una carga eléctrica dentro de un campo electrostático no depende de la trayectoria seguida sino solamente de los puntos de partida y de llegada. Lo equivalente a esto último es que el trabajo en trasladar una carga eléctrica dentro del campo electrostático a lo largo de una trayectoria cerrada es siempre cero.

La integral de E . n dA sobre la superficie S, representa el flujo eléctrico que atraviesa la superficie S y que está relacionado con las líneas de campo que atraviesan S.

La integral de la densidad de carga representa la carga eléctrica neta encerrada por la superficie S y que yace en el volumen V.

En consecuencia la ley de Gauss establece que el flujo eléctrico que cruza la superficie S es proporcional a la carga eléctrica encerrada por S.

CAMPO DE UNA CARGA ELÉCTRICA

Sea una carga eléctrica q en reposo en el vacío. Aplicando ley de Gauss para una superficie S esférica de radio r con centro en la carga se obtiene:

Î_o E 4p r² = q

E = q / 4pÎ_o r²      para todo r > 0

El campo eléctrico cerca de la carga es intenso y luego decrece rápidamente con el cuadrado de la distancia a la carga. Cuando la distancia r tiende al infinito el campo tiende a cero, lo cual satisface la necesidad que el campo eléctrico E creado por una distribución de carga sea finito y único para cada punto del espacio.

La ley de Gauss constituye un camino para determinar campos creados por distribuciones de carga que guarden la simetría apropiada que permita sacar de la integral el módulo del campo eléctrico.

CAMPO ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA

Dada una distribución de carga, se puede determinar el campo eléctrico producido por ella tomando un diferencial de carga dq en una posición general dentro de la distribución de carga y usando el resultado anterior:

dE = dq / 4pÎ_o r²

Debido al carácter vectorial del campo eléctrico, se puede obtener cada componente de E usando integrales de funciones escalares.

La otra posibilidad es realizar un análisis previo de la dirección final del campo eléctrico buscado en un problema determinado, para luego decidir si con una o dos integrales de funciones escalares se obtiene el campo buscado.

POTENCIAL ELÉCTROSTÁTICO

Usando una propiedad vectorial, de la ecuación Ñ x E = 0 se puede deducir que:

E = - Ñ U

La función escalar U(r) es el potencial electrostático que se mide en voltios (V). El potencial eléctrico es por tanto un campo escalar de manera que U sea finito y único para cada punto del espacio.

Se ha elegido el signo negativo con el fin que el campo eléctrico E apunte en la dirección decreciente del potencial eléctrico U.

Es claro que si conociéramos el potencial eléctrico U para puntos de una región del espacio, podemos determinar el campo eléctrico de E = - Ñ U para los puntos de esa región.

De la ecuación E = - Ñ U podemos deducir:

E . dr = - Ñ U . dr  = - dU

Integrando sobre una línea abierta desde un punto de referencia hasta un punto P obtenemos:

U_P – U_ref = - integral de E . dr

Tomando U_ref = 0 obtenemos que:

U_P = -integral de E . dr desde el punto de referencia hasta el punto P   

Esta expresión permite determinar el potencial eléctrico en un punto cualquiera a partir de una integral de línea desde un punto de referencia que puede tomarse en cualquier lugar del espacio. Lo único que se manifiesta físicamente es la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos, la cual no depende de dónde se toma el punto de referencia.

POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA CARGA

Sabemos que el campo creado por una carga q está dado por:

E = q / 4pÎ_o r² para todo r > 0 en la dirección radial:  E = E u_r

Tomado el gradiente de este campo y anteponiendo el signo negativo tendremos:

U = q / 4pÎ_o r      para todo r > 0

Es obvio que en este caso el punto de referencia está en el infinito. Si la carga es positiva, el potencial también lo será en todos los puntos del espacio. En caso que la carga fuese negativa, el potencial será también negativo en todos los puntos del espacio.

POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA

En estos casos se toma un diferencial de carga dq que producirá un diferencial de potencial eléctrico dU dado por:

dU = dq / 4pÎ_o r      para todo r > 0

Siendo el potencial eléctrico un escalar, se puede determinar U haciendo una integral sobre toda la distribución de carga.

PROPIEDADES DEL CAMPO Y EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO

Se puede demostrar usando las ecuaciones de la electrostática un conjunto de propiedades que es conveniente recordar.

En condiciones electrostáticas:

1.    La carga eléctrica en un conductor se distribuye solamente en su superficie. En estos casos se tendrá una densidad superficial de carga s = s(r) en C/m².

2.    La densidad superficial de carga en conductores cargados es inversamente proporcional al radio de curvatura de la superficie. Esto quiere decir que siendo el radio de curvatura muy pequeño en las puntas, en ellas se concentra una gran cantidad de carga eléctrica.

3.    El campo eléctrico dentro de un conductor es siempre cero.

4.    El campo eléctrico en la superficie de un conductor no es cero y es normal a la superficie.

5.    El valor del campo eléctrico en la superficie de un conductor es proporcional a la densidad superficial de carga que hay en ella:  E_S = s / Î_o

6.    El potencial eléctrico es el mismo en todos los puntos de la superficie de un conductor. Por tanto, la superficie de un conductor es una superficie equipotencial.

7.    El potencial eléctrico dentro de un conductor es el mismo que en la superficie.

 

 

ECUACIONES DE LAPLACE Y POISSON: PROBLEMAS

TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

PROBLEMAS  03

1.    Dos esferas conductoras huecas, muy delgadas y concéntricas tienen radios a y b ( a < b) y están cargadas a los potenciales U_a y U_b respectivamente. Hallar el potencial y el campo eléctrico para las tres regiones: 0 < r < a, a < r < b, r > b.

 

2.    Dos cilindros conductores huecos, muy delgados, muy largos y coaxiales tienen radios a y b ( a < b) y están cargadas a los potenciales U_a y U_b respectivamente. Hallar el potencial y el campo eléctrico para las dos regiones: 0 < r < a, a < r < b.

 

3.    Dos placas conductoras, muy delgadas y paralelas está ubicadas en x = 0 y x = d y están cargadas a los potenciales U₀ y U_d respectivamente. Hallar el potencial y el campo eléctrico para la región 0 < x < d.

 

4.    Una esfera conductora de radio R que tiene una carga total Q se coloca en un campo eléctrico inicialmente uniforme E_o. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la densidad superficial de carga eléctrica en la superficie de la esfera.

 

5.    Un cilindro conductor muy largo de radio R y que no tiene carga neta, se coloca dentro de un campo eléctrico inicialmente uniforme E_o , perpendicular al eje del cilindro. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la densidad superficial de carga eléctrica en la superficie del cilindro.

 

6.    Un cilindro conductor muy largo de radio R y que tiene carga neta Q, se coloca dentro de un campo eléctrico inicialmente uniforme E_o , perpendicular al eje del cilindro. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la densidad superficial de carga eléctrica en la superficie del cilindro.

 

7.    Un cilindro conductor muy delgado y largo, de radio R es dividido a lo largo de su eje en dos partes. El potencial en el cilindro es: U(R, f) = V/2 para 0 < f < p; U(R, f) = - V/2 para p < f < 2p. Hallar el potencial eléctrico para las regiones interior y exterior del cilindro.

 

8.    Un cilindro conductor muy delgado y largo, de radio R es dividido a lo largo de su eje en cuatro partes (cuadrantes). El potencial en el cilindro es: U(R, f) = V/2 para 0 < f < p/2; U(R, f) = 0 para p/2 < f < 3p/2; U(R, f) = - V/2 para 3p/2 < f < 2p. Hallar el potencial eléctrico para las regiones interior y exterior del cilindro.

 

9.    En una nube esférica de carga de radio R la carga Q está distribuida uniformemente. Hallar el potencial eléctrico integrando la ecuación de Poisson. Verificar el resultado integrando sobre la distribución de carga.

 

10. Un cilindro coaxial muy largo de radios a y b contienen una nube electrónica cuya densidad volumétrica es r = k/r para a < r < b. El cilindro interior se mantiene a un potencial U_o y el cilindro exterior está puesto a tierra. Hallar el potencial eléctrico para la región a < r < b resolviendo la ecuación de Poisson.

 

11. Un cono conductor infinito está en posición invertida con su eje en el eje z y su vértice en z = 0. El ángulo del cono es a y está cargado al potencial U_o. En el plano xy hay una placa conductora  conectada a tierra. La placa y el cono están aislados eléctricamente. Hallar (a) el potencial U(q) en la región  a< q < p/2; (b) el campo eléctrico en la región a< q < p/2; (c) las densidades de carga superficial del cono y del plano puesto a tierra.

ELECTROSTATICA EN EL VACÍO - 2: PROBLEMAS

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA

 

TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

 

PROBLEMAS DE ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO - 2

1.    Un disco circular de radio R tiene una densidad de carga superficial uniforme s: Hallar el campo y el potencial eléctrico en cualquier punto del eje del disco (eje z con origen de coordenadas en el centro del disco).

2.    Una distribución de carga tiene la forma de un cilindro de radio R y longitud L y está dada  por la expresión: r(z) = A + B z  (A y B constantes) respecto al eje z del cilindro con origen en el centro del cilindro. Hallar el campo y el potencial eléctrico en (a) el centro del cilindro; (b) en un punto cualquiera del eje z.

3.    Dos cargas puntuales (-q) y (+q/n) donde n es un entero positivo están el origen de coordenadas y en el punto (a, 0, 0) respectivamente. (a) ¿En qué punto del eje x se anula el campo eléctrico?; (b) ¿Es este punto un mínimo del potencial eléctrico?; (c) Demostrar que la superficie equipotencial U = 0 tiene forma esférica; (d) Hallar las coordenadas del centro de la esfera anterior.

4.    Una distribución de carga uniforme tiene la forma de un cilindro de radio R y longitud L y está dada  por r. Hallar el potencial y el campo eléctrico en un punto cualquiera del eje del cilindro exterior a la distribución de carga.

5.    El máximo campo eléctrico que puede resistir el aire sin conducir corriente es de 3 x 10⁶ V/m. (a) Hallar el máximo potencial eléctrico de un conductor esférico de radio R. (b) Hallar el radio de un conductor esférico que almacene 1 C de carga.

6.    El campo eléctrico en la atmósfera es de 200 V/m en la superficie de la Tierra y de 20 V/m a 1400 m de altura, ambos dirigidos hacia abajo. Hallar el signo y el valor de la densidad media de carga, en forma de iones, en la atmósfera por debajo de 1400 m.

7.    Se tiene una nube de carga en forma esférica de radio R. Hallar las expresiones del campo,  el potencial eléctrico y la energía potencial eléctrica para las siguientes distribuciones de carga: (a) r = r₀ ; (b) r(r) = A/r ; (c) r(r) = A (1 – r/R); (d) r(r) = A r^1/2; (e) r(r) = A rⁿ.

8.    (a) Hallar la densidad de carga r(r) que podría producir un campo eléctrico radial E = kq/rⁿ. (b) Hallar el potencial eléctrico de este campo.

9.    Una carga q en un medio semiconductor tiene un potencial eléctrico de apantallamiento dado por U(r) = kq e^-r/l/r . Hallar (a) el campo eléctrico; (b) la densidad de carga que genera dicho potencial.

10. Una nube de carga tiene la forma de dos cilindros coaxiales de radios a y b (b > a). La densidad de carga para la región a < r < b es r(r) = A e ^–cr   Hallar el campo eléctrico para todos los puntos del espacio.

11. Un campo eléctrico radial en coordenadas cilíndricas está dado por E(r) = E₀ (r/a)³ para 0 < r < a, y E = 0 para todo otro punto. Encontrar la densidad de carga que genera dicho campo.

12. Las componentes de un campo eléctrico en coordenadas esféricas para la región r > a está dado por E_r = 2A cos q/r³ , E_q = A sen q/r³ , E_f = 0. Hallar la densidad de carga que genera este campo.

13. Dos alambres rectos muy delgados con densidades lineales de carga +l y - l están ubicados en el eje z desde d hasta +infinito y desde d hasta –infinito, respectivamente. (a) Hallar el potencial eléctrico en coordenadas cilíndricas; (b) Hallar la componente radial del campo eléctrico.

14. Las cargas -q y Q (Q = - 4 q) están ubicadas en el eje x en las posiciones x = -d y x = 0 respectivamente. (a) Hallar la ecuación de la línea de campo correspondiente a E(P) = 0. (b) Hallar la posición del punto P para el cual la línea de campo corta al eje x.

15. Sea d la distancia entre dos alambres rectos muy largos y paralelos. Los alambres tienen densidades de carga +l y -l respectivamente. Demostrar que las ecuaciones de las líneas de campo son circunferencias.

16. Hallar las ecuaciones diferenciales para una línea de campo en coordenadas cilíndricas.

ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO - 1: PROBLEMAS

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA

PROBLEMAS 01

TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO

1. Un disco de radio R tiene una distribución superficial de carga s. Hallar (a) el campo eléctrico y el potencial eléctrico en un punto del eje del disco, a una distancia z del centro del disco. (b) Ubicar los puntos del eje del disco donde hay un campo o un potencial máximo; hallar estos valores.
2. Un hemisferio de radio R tiene una distribución superficial de carga de s. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en el centro de la esfera a la cual pertenece el hemisferio; (b) el potencial y el campo en un punto del eje del hemisferio, dentro de él; (c) el potencial y el campo en un punto del eje del hemisferio, fuera  de él.
3. Una superficie cilíndrica de radio R y longitud L tiene una distribución superficial de carga s en su superficie lateral. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en el centro de una de las bases del cilindro; (b) en un punto del eje del cilindro, dentro de él; (c) en un punto del eje del cilindro, fuera de él.
4. Un casquete de esfera muy delgado de radio R tiene una distribución de carga de s. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en el centro de la esfera; (b) en un punto del diámetro de la esfera, dentro de ella; (c) en un punto de la recta que pasa por el centro de la esfera pero fuera de ella.
5. Una superficie metálica tiene la forma de un tronco de cono recto de longitud L y radios “a” y “b” (a < b). La distribución de carga en la superficie lateral del tronco es s. Calcular el campo y el potencial eléctrico en el centro de la base mayor del tronco de cono.
6. Un cilindro circular recto de radio R y longitud L contiene una densidad volumétrica de carga P. Calcular el potencial eléctrico en un punto del eje del cilindro pero exterior a él.
7. El máximo campo eléctrico que resiste el aire antes de convertirse en conductor es de 3 000 000 V/m. Calcular el máximo potencial eléctrico posible de un conductor esférico cargado de 0.2 m de radio.
8. Una nube esférica de carga tiene una densidad volumétrica de carga igual a k/r. Determinar (a) el campo y el potencial eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la energía potencial eléctrica de la nube.
9. Se colocan 8 cargas puntuales Q en los vértices de un cubo de arista “a”. Determinar la energía potencial eléctrica del sistema de cargas.
10. Una nube esférica de carga de radio R contiene carga Q. Calcular la energía potencial eléctrica de la nube de carga.
11. Una esfera maciza metálica de radio R tiene una carga Q en su superficie. Determinar la energía potencial eléctrica de la esfera cargada.
12. El potencial eléctrico en la superficie de una esfera maciza metálica de radio R es U. Determinar la energía potencial eléctrica de la esfera cargada y la densidad de carga superficial.
13. En un capacitor esférico la esfera interior tiene radio “a” y está a potencial U, mientras que la esfera exterior tiene radio “b” y está a potencial -U. Calcular: (a) el potencial y el campo eléctrico en r = (a+b)/2; (b) la energía potencial eléctrica almacenada; (c) la carga eléctrica en cada esfera.
14. En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro interior tiene radio “a” y está a potencial U, mientras que el cilindro exterior tiene radio “b” y está a potencial -U. Calcular: (a) el potencial y el campo eléctrico en r = (a+b)/2; (b) la energía potencial eléctrica almacenada; (c) la carga eléctrica en cada esfera.
15. En un capacitor de placas planas y paralelas de área A y distancia d entre las placas, una placa está a potencial U, mientras que la otra está a -U. Calcular: (a) el potencial y el campo eléctrico en x = d/3; (b) la energía potencial eléctrica almacenada; (c) la carga eléctrica en cada placa.