REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS EM

TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

ONDAS EM: REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN

1.    Demostrar que para una onda plana en el vacío la impedancia de onda es Z_o = E²/H² = m_o/Î_o = 377 W

2.    Demostrar que la superposición de dos ondas planas con la misma frecuencia, vector propagación y amplitud E pero con polarizaciones circulares opuestas (derecha e izquierda) da lugar a una onda linealmente polarizada con amplitud 2E

3.    La radiación solar promedio que llega a la Tierra es de 1400 W/m². Supongamos que dicha radiación llega como onda plana monocromática polarizada y con incidencia normal. Calcular el módulo de los vectores B y H de la luz solar.

4.    El vector de Poynting proporcional a E² decae según exp(- az) donde a = 2/d se denomina coeficiente de absorción, d = 2n / gZ_o. La pérdida de potencia se expresa frecuentemente en decibeles por metro (dB/m). Demostrar que la pérdida de potencia es igual a 4.34a dB/m.

5.    Calcular los coeficientes de reflexión y transmisión para una onda que incide desde el aire sobre un dieléctrico (n = 1.3) con el ángulo de Brewster.

6.    Una fibra óptica tiene índice de refracción 1.55 y está rodeada por un revestimiento con índice de refracción 1.53

7.    Una onda plana de frecuencia 3 GHz se propaga en la dirección +z en un medio dieléctrico con constante k = 2.5 y tangente de pérdidas de 0.05. Hallar la distancia a la cual la amplitud se reducirá a la mitad, la impedancia de onda, la longitud de onda y la velocidad de fase.

8.    Hallar la condición para que sean iguales los coeficientes de reflexión y transmisión de una onda plana que incide normalmente en la superficie que separa a dos medios dieléctricos perfectos.

9.    Una onda plana en el aire con E₁ (z) = i 10 exp(-i6z) V/m incide normalmente sobre una superficie de separación en z = 0 sobre un dieléctrico con pérdidas con k = 2.25 y tangente de pérdida 0.3. Hallar (a) las expresiones para los campos eléctrico y magnético de las ondas reflejada y transmitida, (b) los vectores de Poynting instantáneos y promediados en el tiempo para las ondas refleja y transmitidas.

10. Una onda plana con frecuencia f en un medio con índice de refracción n₁ incide con el ángulo crítico sobre otro medio en z = 0 con índice de refracción n₂ > n₁. Hallar las razones de las amplitudes de las ondas reflejada/incidente y transmitida/incidente para (a) el caso del campo eléctrico paralelo al plano de incidencia, (b) el caso del campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia.

11. Los prismas que tienen como sección transversal a un triángulo rectángulo isósceles se usan comúnmente en los instrumentos ópticos. Para el vidrio usado Î = 4 Î_o. Una onda incide normalmente sobre la hipotenusa de la sección y después emerge en dirección opuesta. Calcular el porcentaje de potencia luminosa que emerge del prisma.

12. Usando el principio de Fermat probar que: (a) la luz viaja de un punto a otro en un mismo medio siguiendo una trayectoria rectilínea; (b) la luz viaja de un punto A a otro punto B en el mismo medio cumpliendo con la ley de la reflexión; (c) la luz viaja de un punto A en un medio 1 a otro punto B en un medio 2 cumpliendo con la ley de Snell.

13. Demostrar que R + T = 1 para medios ópticamente transparentes y para medios dieléctricos perfectos en general.

14. ¿En qué ángulo con respecto a la vertical debe mirar un pez para ver a un pescador sentado en un muelle lejano? Suponer que para el agua n = 1.33

15. Luz de 500 nm de longitud de onda entra a un medio en el cual su longitud de onda es de 350 nm. Hallar (a) el índice de refracción del medio; (b) la frecuencia de la luz; (c) la constante dieléctrica del medio.

16. Un rayo de luz incide con un ángulo a sobre la superficie de un espejo plano. Se hace girar el espejo en un ángulo b alrededor de un eje en eje en su plano y perpendicular al plano de incidencia. ¿En qué ángulo gira el rayo reflejado?

17. El ángulo de incidencia de un rayo de luz sobre un vidrio de índice de refracción n es a. El espesor de la placa de vidrio es e. El rayo sufre dos refracciones. (a) Demostrar que los rayos incidente y emergente del vidrio son paralelos; (b) Hallar la distancia entre los dos rayos: incidente y emergente; (c) Hallar una expresión aproximada para la respuesta anterior en el caso que el ángulo a sea pequeño.

18. Se tiene un cubo de vidrio de índice de refracción 1.5 sumergido en agua de índice de refracción 1.33. Un rayo de luz incide con un ángulo a sobre una cara del cubo y después de refractarse incide sobre el punto A de una cara adyacente del cubo. Hallar el valor máximo del ángulo a para que la luz tenga reflexión interna total en el punto A.

19. Un prisma de cristal (índice de refracción n) tiene ángulo en el vértice a. (a) ¿Cuál es el mínimo ángulo de incidencia para el cual puede entrar un rayo por una cara del prisma y salir por la otra?; ¿Qué ángulo de incidencia debería tener el rayo para que atraviese el prisma simétricamente?

20. Un cubo de cristal tiene una fuente de luz puntual en su centro. ¿Qué fracción de la superficie del cubo debe taparse para impedir que salga luz, cualesquiera que sea el punto de observación?  

ONDAS EM EN DIELÉCTRICOS PERFECTOS

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA
TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

ONDAS EM EN DIELÉCTRICOS PERFECTOS

 

1. El campo eléctrico para una onda EM en un dieléctrico perfecto (m = m_o, Î = 6Î_o) está dado por E(z, t) = j 6 sen (bz – 10⁹ t). Hallar (a) el valor de b: (b) las expresiones para la intensidad magnética H, el vector de Poyntig S y el vector de Poynting promediado en el tiempo áSñ

2. La intensidad magnética de una onda H = j H_o cos (pz/3 - 10⁸pt + a) es la suma de H₁ = j 0.04 sen (pz/3 - 10⁸pt) y H₂ = j 0.04 cos (pz/3 - 10⁸pt + p/3). (a) Calcular H_o y a; (b) Escribir las expresiones para E, S y áSñ

3. Una onda EM plana se propaga en un dieléctrico perfecto (m = m_o, Î = 5Î_o) en la dirección +z tal que E = i E_x , E_x es senoidal con frecuencia 100 MHz y su valor máximo es 10^-3 V/m en t = 0 y z = 1/7 m. (a) Escribir la expresión para E(z, t); (b) escribir las expresiones para H(z, t), S(z, t) y áSñ; (c) Determinar las posiciones z para las cuales E_x tiene un valor máximo positivo en t = 10^-6 s

4. Para una onda EM plana H = k 2 x 10^-6 cos (k_o y – 10⁷ pt + p/4). (a) Hallar el valor de k_o y la posición donde se anula H en t = 3 ms. (b) Hallar las expresiones para E, S y áSñ.

5. Para una onda EM plana E(z, t) = i 2 cos (z/Ö3 – 10⁸t) – j sen (z/Ö3 – 10⁸t). (a) Determinar la frecuencia, la longitud de onda y la constante dieléctrica. (b) ¿Qué polarización tiene la onda? Demuéstrelo. (c) Escribir las expresiones para E, S y áSñ.

6. Para una onda plana E(z, t) = i E₀₁ sen (kz – wt) + j E₀₂ sen (kz – wt + a). (a) Demostrar que la onda tiene polarización elíptica. (b) Hallar H, S y áSñ

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA
TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

 

1. Hallar la inductancia propia de una bobina toroidal de radio menor R, radio mayor 2R y altura H. la sección de la bobina es rectangular. La bobina toroidal tiene N espiras muy juntas y núcleo de permeabilidad m_o

2. Hallar la inductancia por unidad de longitud de una bobina recta cilíndrica que contiene n espiras por unidad de longitud y un núcleo de permeabilidad m_o

3. Determinar la inductancia por unidad de longitud de un alambre coaxial lleno de aire tal que el conductor interior tiene radio R y el conductor exterior es delgado y tiene radio interior 2R.

4. Calcular la inductancia mutua entre un alambre recto muy largo y una espira que tiene la forma de un polígono regular de lado “a” situadas ambas en el mismo plano. La distancia entre el alambre y el centro de la espira es “d”. Casos de la espira: (a) triángulo equilátero; (b) cuadrado; (c) pentágono regular; (d) hexágono regular.

5. Repetir el problema anterior cuando la espira es circular de radio R.

6. Para los problemas 4 y 5 calcular la corriente inducida en la espira si ésta se mueve con velocidad v constante y tiene resistencia eléctrica R.

7. Una espira conductora cuadrada de lado “a” está situada en el plano xz dentro de un campo magnético variable B = j B_o cos wt. El origen de coordenadas coincide con el centro de la espira. Calcular la fem inducida en la espira: (a) cuando la espira está en reposo; (b) cuando la espira gira con velocidad angular w constante alrededor del eje x.

MAGNESTOSTÁTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA

TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

 

MAGNETOSTÁTICA

 

1.    Por un alambre muy delgado y muy largo pasa una corriente constante I. Hallar la inducción magnética en cualquier punto del espacio.

2.    A lo largo de una cinta conductora plana de espesor despreciable, ancho “a” y largo infinito pasa una corriente I distribuida uniformemente. Hallar la inducción magnética: (a) en un punto ubicado en la perpendicular a la cinta y que pasa por su centro; (b) en un punto ubicado en la perpendicular a la cinta y que pasa por un extremo de la cinta; (c) en un punto ubicado en el plano de la cinta pero fuera de ella; (d) en un punto cualquiera (general) del espacio.

3.    Por un alambre muy delgado de longitud L pasa una corriente estacionaria I. Hallar  la inducción magnética (a) en un punto ubicado en la recta que contiene al alambre; (b) en un punto de la recta mediatriz del alambre; (d) En un punto cualquiera del espacio.

4.    Por una espira conductora circula una corriente eléctrica I. La espira tiene la forma de un triángulo equilátero de lado L. Hallar la inducción magnética B en el centro de la espira.

5.    Resolver el problema 4 si la espira tiene la forma de un cuadrado de lado L.

6.    Resolver el problema 4 si la espira tiene la forma de un pentágono regular de lado L.

7.    Resolver el problema 4 si la espira tiene la forma de un hexágono regular de lado L.

8.    Resolver el problema 4 si la espira tiene la forma de un polígono regular de n lados.

9.    Un alambre muy delgado tiene la forma de un arco de circunferencia de radio R y ángulo central q. Por el alambre pasa una corriente estacionaria I. Hallar la inducción magnética en el centro de la circunferencia.

10. Del resultado del problema anterior, deducir la inducción magnética en el centro de una espira circular de radio R que conduce una corriente constante I.

11. De la respuesta al problema 8 deducir el campo en el centro de una espira circular de radio R por la que circula una corriente I.

12. Hallar la inducción magnética en cualquier punto del eje de una espira circular de radio R por la cual circula una corriente constante I. ¿En qué punto del eje la inducción magnética es máxima y cuál es su valor?

13. En los problemas 4 al 8, hallar la inducción magnética en cualquier punto del eje de cada espira (eje z, tal que el origen de coordenadas coincide con el centro de la espira).

14. Un alambre muy delgado en forma de una espira circular de radio R tiene una carga Q distribuida uniformemente. La espira gira con velocidad angular constante w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética: (a) en el centro de la espira circular; (b) en un punto cualquiera de su eje.

15. Un disco conductor delgado en forma de una corona circular de radio interior R₁ y exterior R₂ (R₁ < R₂) está cargado uniformemente con una carga Q. El disco gira con velocidad angular uniforme w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética en (a) el centro del disco hueco; (b) en un punto cualquiera de su eje (eje z tal que el origen de coordenadas coincide con el centro del disco hueco).

16. Un cascarón metálico tiene la forma de un hemisferio de radio R y una carga Q está distribuida uniformemente en su superficie. El cascarón rota con velocidad angular uniforme w constante alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética: (a) en el centro del hemisferio; (b) en el punto más alejado del centro del hemisferio; (c) en un punto cualquiera del eje del hemisferio.

17. Un cascarón metálico tiene la forma de una esfera de radio R y una carga Q está distribuida uniformemente en su superficie. El cascarón rota con velocidad angular uniforme w constante alrededor de un eje que pasa por el centro. Hallar la inducción magnética: (a) en el centro del cascarón; (b) en la intersección del eje con el cascarón; (c) en un punto cualquiera del eje dentro del cascarón; (d) en un punto cualquiera del eje fuera del cascarón.

18. Un cascarón metálico tiene la forma de un cilindro de radio R y longitud L y una carga Q está distribuida uniformemente en su superficie. El cascarón rota con velocidad angular uniforme w constante alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética: (a) en el centro de una de las bases del cascarón; (b) en un punto cualquiera del eje dentro del cascarón; (c) en un punto cualquiera del eje fuera del cascarón.

19. Un cascarón metálico tiene la forma de un tronco de cono recto de radios R₁ y R₂ (R₁ < R₂), longitud L y una carga Q está distribuida uniformemente en su superficie. El cascarón rota con velocidad angular uniforme w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética: (a) en el centro de la base mayor del cascarón; (b) en un punto cualquiera del eje dentro del cascarón; (c) en un punto cualquiera del eje fuera del cascarón.

20. Un disco conductor delgado de  radio R está cargado uniformemente con una carga Q. El disco gira con velocidad angular uniforme w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética en (a) el centro del disco; (b) en un punto cualquiera de su eje (eje z tal que el origen de coordenadas coincide con el centro del disco).

21. Una distribución uniforme de carga rígida Q tiene la forma de una nube hemisférica de radio R, la cual gira con velocidad angular constante w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética en: (a) el centro del hemisferio; (b) el punto más alejado del centro del hemisferio; (c) en un punto cualquiera del eje del hemisferio.

22. Una distribución uniforme de carga rígida Q tiene la forma de una nube esférica de radio R, la cual gira con velocidad angular constante w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética en: (a) el centro de la esfera; (b) en un punto cualquiera del eje dentro de la esfera; (c) en un punto cualquiera del eje fuera de la esfera.

23. Una distribución uniforme de carga rígida Q tiene la forma de una nube cilíndrica de radio R y longitud L, la cual gira con velocidad angular constante w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética en: (a) el centro de una de las bases del cilindro; (b) en un punto cualquiera del eje dentro del cilindro; (c) en un punto cualquiera del eje fuera del cilindro.

24. Una distribución uniforme de carga rígida Q tiene la forma de un tronco de cono de radios R₁ y R₂ (R₁ < R₂) y longitud L, el cual gira con velocidad angular constante w alrededor de su eje. Hallar la inducción magnética en: (a) el centro de la base mayor del tronco de cono; (b) en un punto cualquiera del eje dentro del tronco de cono; (c) en un punto cualquiera del eje fuera del tronco de cono.

25. Una bobina de longitud L tiene n espiras por unidad de longitud y conduce una corriente I.  Ubicar el eje z coincidente con el eje de la bobina y con el origen de coordenadas en el centro de un extremo de la bobina. Hallar la inducción magnética en (a) un punto cualquiera dentro de la bobina; (b) un punto cualquiera fuera de la bobina.

26. Una bobina toroidal tiene N espiras distribuidas uniformemente por las que pasa una corriente I. El radio interior del toroide es “a” y el exterior es “b”. Hallar (a) la inducción magnética mayor y menor dentro de la bobina; (b) la relación b/a para que la inducción magnética dentro de la bobina no varíe en más del 20%.

27. Un alambre recto muy largo de radio R conduce una corriente I uniforme. Hallar la inducción magnética: (a) para cualquier punto dentro del alambre; (b) para cualquier punto fuera del alambre.

28. Un alambre recto muy largo de radio “a” que tiene una densidad de corriente axial uniforme J. El alambre tiene una cavidad cilíndrica de radio “b” con eje paralelo al eje del alambre. La distancia entre los ejes es “c”. Demostrar que la inducción magnética es proporcional a J x c/2.

29. Verificar que B = (r /r) x Ñf(x, y, z), donde f(x, y, z) es solución de la ecuación de Laplace, es un campo físicamente realizable (es decir, satisface las ecuaciones de la magnetostática en el vacío). Hallar la densidad de corriente J que produce dicho campo.

 

CORRIENTES ELÉCTRICAS ESTACIONARIAS: PROBLEMAS

CORRIENTES ELÉCTRICAS ESTACIONARIAS

1.    Una pieza conductora tiene la forma de un tronco de cono recto de longitud L, radio menor a , radio mayor b (a < b) y conductividad g. Hallar la resistencia de la pieza para una corriente axial.

2.    Una pieza conductora tiene la forma de un cuarto de arandela circular plana con radio interior a, radio exterior b (a < b), espesor uniforme h y conductividad g. Hallar la resistencia eléctrica (a) entre las caras de los extremos; (b) entre las caras planas superior e inferior; (c) entre los lados curvos.

3.    Una pieza conductora tiene la forma de una esfera hueca con radio interior a, radio exterior b (a < b) y conductividad g. Hallar la resistencia eléctrica si la corriente es radial.

4.    Una pieza conductora tiene la forma de un cilindro hueco con radio interior a, radio exterior b (a < b), largo L y conductividad g. Hallar la resistencia eléctrica (a) si la corriente es radial; (b) si la corriente es axial.

5.    Un alambre cilíndrico muy largo de radio a y conductividad g está recubierto por un material conductor de conductividad 0.1g. (a) Hallar el grosor del revestimiento para que la resistencia por unidad de longitud sea el 40% de la resistencia por unidad de longitud del alambre no recubierto. (b) Suponiendo una corriente axial total I en el alambre recubierto, hallar el campo eléctrico E y la densidad de corriente J en los dos materiales.

6.    En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas tienen área A y están separadas por una distancia d. Entre las placas se coloca una placa de dieléctrico imperfecto de conductividad g, área A y espesor d de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las placas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre placas; (b) la densidad de corriente y la corriente entre las placas; (c) la resistencia eléctrica del dieléctrico y la capacidad del capacitor.

7.    En un capacitor esférico, la esfera conductora maciza tiene radio a y la esfera conductora hueca tiene radio interior b. Entre las esferas se coloca una capa de dieléctrico imperfecto de conductividad g de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las esferas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre las esferas conductoras; (b) la densidad de corriente y la corriente entre las esferas conductoras; (c) la resistencia eléctrica del dieléctrico y la capacidad del capacitor.

8.    En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio a y el cilindro conductor hueco tiene radio interior b. Entre los cilindros se coloca una capa de dieléctrico de conductividad g de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre los cilindros conductores. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre los cilindros; (b) la densidad de corriente y la corriente entre los cilindros conductores; (c) la resistencia eléctrica del dieléctrico y la capacidad del capacitor.

9.    la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambos cilindros conductores; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

10.  En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas tienen área A y están separadas por una distancia 2d. Entre las placas se colocan dos placas de dieléctricos imperfectos de conductividades g₁ y g₂ , área A y espesor d de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las placas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico en las placas de dieléctrico; (b) la densidad de corriente y la corriente en las placas de dieléctrico; (c) la resistencia eléctrica entre las placas conductoras y la capacidad del capacitor.

11.  En un capacitor esférico, la esfera conductora maciza tiene radio a y la esfera conductora hueca tiene radio interior c. Entre las esferas se colocan dos capas de dieléctricos imperfectos de conductividades g₁ y g₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie esférica que separa ambos dieléctricos tiene radio b (a < b < c). Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las esferas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre las esferas conductoras; (b) la densidad de corriente y la corriente entre las esferas conductoras; (c) la resistencia eléctrica del dieléctrico y la capacidad del capacitor.

12.  En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio a y el cilindro conductor hueco tiene radio interior c. Entre los cilindros se colocan dos capas de dieléctricos imperfectos de conductividades g₁ y g₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie cilíndrica que separa ambos dieléctricos tiene radio b (a < b < c). Se establece una diferencia de potencial U₀ entre los cilindros conductores. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre los cilindros; (b) la densidad de corriente y la corriente entre las esferas conductoras; (c) la resistencia eléctrica del dieléctrico y la capacidad del capacitor.

13.  Dos placas conductoras y paralelas de área A están separadas una distancia d. Las placas están en x = 0 y en x = d. El espacio entre las placas se rellena con material óhmico homogéneo cuya conductividad está dada por g(x) = (g₂ - g₁) x /d + g₁. Se mantiene una diferencia de potencial eléctrico U₀ entre las placas. Hallar (a) la resistencia eléctrica entre placas; (b) las densidades superficiales de carga en las placas.

14.  En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas tienen área A y están separadas por una distancia d. Entre las placas se colocan dos placas de dieléctricos con pérdidas de conductividades g₁ y g₂ , área A y espesores d₁ y d₂ de modo de ocupar todo el espacio( d = d₁ + d₂). Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las placas conductoras. Hallar: (a) la densidad de corriente eléctrica entre las placas conductoras; (b) el campo eléctrico en los dieléctricos con pérdidas.

15.  En un capacitor esférico, la esfera conductora maciza tiene radio a y la esfera conductora hueca tiene radio interior c. Entre las esferas se colocan dos capas de dieléctricos con pérdidas de conductividades g₁ y g₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie esférica que separa ambos dieléctricos tiene radio b (a < b < c) . Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las esferas conductoras. Hallar: (a) la densidad de corriente eléctrica entre las esferas conductoras; (b) el campo eléctrico en los dieléctricos con pérdidas.

16.  En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio a y el cilindro conductor hueco tiene radio interior c. Entre los cilindros se colocan dos capas de dieléctricos con pérdidas de conductividades g₁ y g₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie cilíndrica que separa ambos dieléctricos tiene radio b  (a < b < c). Se establece una diferencia de potencial U₀ entre los cilindros conductores. Hallar: (a) la densidad de corriente eléctrica entre los cilindros conductores; (b) el campo eléctrico en los dieléctricos con pérdidas.

 

ELECTROSTÁTICA EN DIELÉCTRICOS: PROBLEMAS

ELECTROSTÁTICA EN DIELÉCTRICOS: PROBLEMAS

1.    Un cilindro de dieléctrico de sección A está en el eje x desde x = 0 hasta x = L. La polarización del dieléctrico es lo largo del eje x , está dada por: (a) P_x = k; (b) P_x = ax + b; (c) P_x = ax² + b. Hallar las densidades de carga de polarización volumétrica y superficial para el dieléctrico. Demostrar en cada caso que la carga total de polarización es cero.

2.    Un cubo de dieléctrico de arista L tiene el origen de coordenadas en el centro. La polarización del dieléctrico está dada por: (a) P_x = k; (b) P_x = ax + b; (c) P_x = ax² + b; (d) P = A r. Hallar las densidades de carga de polarización volumétrica y superficial para el dieléctrico. Demostrar en cada caso que la carga total de polarización es cero.

3.    Una esfera de dieléctrico de radio R tiene el origen de coordenadas en el centro. La polarización del dieléctrico está dada por: (a) P_x = k; (b) P_x = ax + b; (c) P_x = ax² + b; (d) P = A r. Hallar las densidades de carga de polarización volumétrica y superficial para el dieléctrico. Demostrar en cada caso que la carga total de polarización es cero.

4.    Un cilindro conductor muy largo de radio R y densidad superficial de carga libre s está rodeado de un dieléctrico de permitividad Î. Hallar el campo y el potencial eléctrico en cualquier punto.

5.    Una esfera conductora con carga eléctrica Q y de radio R flota sumergida a la mitad en un medio dieléctrico líquido de permitividad Î₁. Por encima del líquido hay un gas dieléctrico de permitividad Î₂. Hallar (a) el campo y el desplazamiento eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la polarización de cada dieléctrico; (c) las densidades de carga de polarización de cada dieléctrico; (d) la energía potencial eléctrica del sistema.

6.    Un cilindro conductor con carga eléctrica l por unidad de longitud y de radio R flota sumergido a la mitad en un medio dieléctrico líquido de permitividad Î₁. Por encima del líquido hay un gas dieléctrico de permitividad Î₂. Hallar (a) el campo y el desplazamiento eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la polarización de cada dieléctrico; (c) las densidades de carga de polarización de cada dieléctrico.

7.    En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas tienen área A y están separadas por una distancia 2d. Entre las placas se colocan dos placas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ , área A y espesor d de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las placas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre placas; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambas placas; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

8.    En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas tienen área A y están separadas por una distancia d. Entre las placas se colocan dos placas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ , área A/2 y espesor d de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las placas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre placas; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambas placas; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

9.    En un capacitor esférico, la esfera conductora maciza tiene radio R y la esfera conductora hueca tiene radio interior 3R. Entre las esferas se colocan dos capas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie esférica que separa ambos dieléctricos tiene radio 2R. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las esferas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre las esferas; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambas esferas conductoras; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

10.  En un capacitor esférico, la esfera conductora maciza tiene radio R y la esfera conductora hueca tiene radio interior 2R. Entre las esferas se colocan dos capas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ de modo que cada una ocupa la mitad del espacio entre las esferas conductoras. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las esferas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre las esferas; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambas esferas conductoras; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

11.  En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio R y el cilindro conductor hueco tiene radio interior 3R. Entre los cilindros se colocan dos capas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie cilíndrica que separa ambos dieléctricos tiene radio 2R. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre los cilindros conductores. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre los cilindros; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambos cilindros conductores; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

12.  6. En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio R y el cilindro conductor hueco tiene radio interior 2R. Entre los cilindros se colocan dos capas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ de modo que cada uno ocupa la mitad del espacio entre los cilindros conductores. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre los cilindros conductores. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre los cilindros; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambos cilindros conductores; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

13.  Resolver los problemas 7 al 12 considerando que el dato NO es la diferencia de potencial U₀ entre los conductores sino las carga +Q y –Q de cada conductor.

14.  Una esfera dieléctrica de radio R y permitividad Î se coloca dentro de un campo eléctrico inicialmente uniforme E₀. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la polarización del dieléctrico; (c) las densidades de carga de polarización y la carga de polarización total.

15.  Un cilindro dieléctrico muy largo de radio R y permitividad Î se coloca dentro de un campo eléctrico inicialmente uniforme E₀. El eje del cilindro es perpendicular al campo eléctrico E_0. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la polarización del dieléctrico; (c) las densidades de carga de polarización.

16.  Supongamos que el espacio está ocupado por un dieléctrico de permitividad Î. Además hay un campo eléctrico uniforme E₀. Se practica un hueco en el dieléctrico en forma de una cavidad esférica de radio R. Hallar el campo eléctrico dentro de la cavidad esférica.

17.  Una pieza de dieléctrico de permitividad Î tiene la forma de una esfera hueca de radio interior R₁ y radio exterior R₂. En el centro hay una carga puntual +Q. Hallar: (a) el potencial, el campo, el desplazamiento eléctrico y la polarización en cualquier punto del dieléctrico; (b) las densidades de carga de polarización y la carga total de polarización; (c) la energía potencial eléctrica del sistema.

18.  En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas conductoras están en x = 0 y x = d. Se rellena todo el espacio entre placas con un dieléctrico cuya permitividad es Î(x) = (Î₂ - Î₁) x /d + Î₁. Hallar la capacidad del capacitor.

19.  En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio R₁ y está a potencial U₀ mientras que el cilindro conductor hueco tiene radio interior R₂ y está a potencial cero. Entre los cilindros se coloca un dieléctrico de permitividad Î de modo de ocupar todo el espacio. Hallar: (a) el campo eléctrico en la superficie del conductor macizo. (b) Manteniendo fijo el radio R₂ del cilindro hueco, hallar el valor de R₁ para el cual el campo eléctrico en la superficie del cilindro macizo sea mínimo. (c) Hallar dicho campo mínimo.

20.  En un capacitor cilíndrico muy largo, el espacio entre los conductores interior y exterior está lleno con una nube de carga cuya densidad volumétrica está dada por r(r) = A/r para R₁ < r < R₂. El cilindro conductor interior se mantiene a potencial U₀ y es exterior a potencial cero. Hallar el potencial eléctrico en la región de la nube de carga resolviendo la ecuación de Poisson.