CORRIENTES ELÉCTRICAS ESTACIONARIAS: PROBLEMAS

CORRIENTES ELÉCTRICAS ESTACIONARIAS

1.    Una pieza conductora tiene la forma de un tronco de cono recto de longitud L, radio menor a , radio mayor b (a < b) y conductividad g. Hallar la resistencia de la pieza para una corriente axial.

2.    Una pieza conductora tiene la forma de un cuarto de arandela circular plana con radio interior a, radio exterior b (a < b), espesor uniforme h y conductividad g. Hallar la resistencia eléctrica (a) entre las caras de los extremos; (b) entre las caras planas superior e inferior; (c) entre los lados curvos.

3.    Una pieza conductora tiene la forma de una esfera hueca con radio interior a, radio exterior b (a < b) y conductividad g. Hallar la resistencia eléctrica si la corriente es radial.

4.    Una pieza conductora tiene la forma de un cilindro hueco con radio interior a, radio exterior b (a < b), largo L y conductividad g. Hallar la resistencia eléctrica (a) si la corriente es radial; (b) si la corriente es axial.

5.    Un alambre cilíndrico muy largo de radio a y conductividad g está recubierto por un material conductor de conductividad 0.1g. (a) Hallar el grosor del revestimiento para que la resistencia por unidad de longitud sea el 40% de la resistencia por unidad de longitud del alambre no recubierto. (b) Suponiendo una corriente axial total I en el alambre recubierto, hallar el campo eléctrico E y la densidad de corriente J en los dos materiales.

6.    En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas tienen área A y están separadas por una distancia d. Entre las placas se coloca una placa de dieléctrico imperfecto de conductividad g, área A y espesor d de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las placas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre placas; (b) la densidad de corriente y la corriente entre las placas; (c) la resistencia eléctrica del dieléctrico y la capacidad del capacitor.

7.    En un capacitor esférico, la esfera conductora maciza tiene radio a y la esfera conductora hueca tiene radio interior b. Entre las esferas se coloca una capa de dieléctrico imperfecto de conductividad g de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las esferas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre las esferas conductoras; (b) la densidad de corriente y la corriente entre las esferas conductoras; (c) la resistencia eléctrica del dieléctrico y la capacidad del capacitor.

8.    En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio a y el cilindro conductor hueco tiene radio interior b. Entre los cilindros se coloca una capa de dieléctrico de conductividad g de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre los cilindros conductores. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre los cilindros; (b) la densidad de corriente y la corriente entre los cilindros conductores; (c) la resistencia eléctrica del dieléctrico y la capacidad del capacitor.

9.    la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambos cilindros conductores; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

10.  En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas tienen área A y están separadas por una distancia 2d. Entre las placas se colocan dos placas de dieléctricos imperfectos de conductividades g₁ y g₂ , área A y espesor d de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las placas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico en las placas de dieléctrico; (b) la densidad de corriente y la corriente en las placas de dieléctrico; (c) la resistencia eléctrica entre las placas conductoras y la capacidad del capacitor.

11.  En un capacitor esférico, la esfera conductora maciza tiene radio a y la esfera conductora hueca tiene radio interior c. Entre las esferas se colocan dos capas de dieléctricos imperfectos de conductividades g₁ y g₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie esférica que separa ambos dieléctricos tiene radio b (a < b < c). Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las esferas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre las esferas conductoras; (b) la densidad de corriente y la corriente entre las esferas conductoras; (c) la resistencia eléctrica del dieléctrico y la capacidad del capacitor.

12.  En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio a y el cilindro conductor hueco tiene radio interior c. Entre los cilindros se colocan dos capas de dieléctricos imperfectos de conductividades g₁ y g₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie cilíndrica que separa ambos dieléctricos tiene radio b (a < b < c). Se establece una diferencia de potencial U₀ entre los cilindros conductores. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre los cilindros; (b) la densidad de corriente y la corriente entre las esferas conductoras; (c) la resistencia eléctrica del dieléctrico y la capacidad del capacitor.

13.  Dos placas conductoras y paralelas de área A están separadas una distancia d. Las placas están en x = 0 y en x = d. El espacio entre las placas se rellena con material óhmico homogéneo cuya conductividad está dada por g(x) = (g₂ - g₁) x /d + g₁. Se mantiene una diferencia de potencial eléctrico U₀ entre las placas. Hallar (a) la resistencia eléctrica entre placas; (b) las densidades superficiales de carga en las placas.

14.  En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas tienen área A y están separadas por una distancia d. Entre las placas se colocan dos placas de dieléctricos con pérdidas de conductividades g₁ y g₂ , área A y espesores d₁ y d₂ de modo de ocupar todo el espacio( d = d₁ + d₂). Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las placas conductoras. Hallar: (a) la densidad de corriente eléctrica entre las placas conductoras; (b) el campo eléctrico en los dieléctricos con pérdidas.

15.  En un capacitor esférico, la esfera conductora maciza tiene radio a y la esfera conductora hueca tiene radio interior c. Entre las esferas se colocan dos capas de dieléctricos con pérdidas de conductividades g₁ y g₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie esférica que separa ambos dieléctricos tiene radio b (a < b < c) . Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las esferas conductoras. Hallar: (a) la densidad de corriente eléctrica entre las esferas conductoras; (b) el campo eléctrico en los dieléctricos con pérdidas.

16.  En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio a y el cilindro conductor hueco tiene radio interior c. Entre los cilindros se colocan dos capas de dieléctricos con pérdidas de conductividades g₁ y g₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie cilíndrica que separa ambos dieléctricos tiene radio b  (a < b < c). Se establece una diferencia de potencial U₀ entre los cilindros conductores. Hallar: (a) la densidad de corriente eléctrica entre los cilindros conductores; (b) el campo eléctrico en los dieléctricos con pérdidas.

 

ELECTROSTÁTICA EN DIELÉCTRICOS: PROBLEMAS

ELECTROSTÁTICA EN DIELÉCTRICOS: PROBLEMAS

1.    Un cilindro de dieléctrico de sección A está en el eje x desde x = 0 hasta x = L. La polarización del dieléctrico es lo largo del eje x , está dada por: (a) P_x = k; (b) P_x = ax + b; (c) P_x = ax² + b. Hallar las densidades de carga de polarización volumétrica y superficial para el dieléctrico. Demostrar en cada caso que la carga total de polarización es cero.

2.    Un cubo de dieléctrico de arista L tiene el origen de coordenadas en el centro. La polarización del dieléctrico está dada por: (a) P_x = k; (b) P_x = ax + b; (c) P_x = ax² + b; (d) P = A r. Hallar las densidades de carga de polarización volumétrica y superficial para el dieléctrico. Demostrar en cada caso que la carga total de polarización es cero.

3.    Una esfera de dieléctrico de radio R tiene el origen de coordenadas en el centro. La polarización del dieléctrico está dada por: (a) P_x = k; (b) P_x = ax + b; (c) P_x = ax² + b; (d) P = A r. Hallar las densidades de carga de polarización volumétrica y superficial para el dieléctrico. Demostrar en cada caso que la carga total de polarización es cero.

4.    Un cilindro conductor muy largo de radio R y densidad superficial de carga libre s está rodeado de un dieléctrico de permitividad Î. Hallar el campo y el potencial eléctrico en cualquier punto.

5.    Una esfera conductora con carga eléctrica Q y de radio R flota sumergida a la mitad en un medio dieléctrico líquido de permitividad Î₁. Por encima del líquido hay un gas dieléctrico de permitividad Î₂. Hallar (a) el campo y el desplazamiento eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la polarización de cada dieléctrico; (c) las densidades de carga de polarización de cada dieléctrico; (d) la energía potencial eléctrica del sistema.

6.    Un cilindro conductor con carga eléctrica l por unidad de longitud y de radio R flota sumergido a la mitad en un medio dieléctrico líquido de permitividad Î₁. Por encima del líquido hay un gas dieléctrico de permitividad Î₂. Hallar (a) el campo y el desplazamiento eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la polarización de cada dieléctrico; (c) las densidades de carga de polarización de cada dieléctrico.

7.    En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas tienen área A y están separadas por una distancia 2d. Entre las placas se colocan dos placas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ , área A y espesor d de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las placas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre placas; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambas placas; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

8.    En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas tienen área A y están separadas por una distancia d. Entre las placas se colocan dos placas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ , área A/2 y espesor d de modo de ocupar todo el espacio. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las placas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre placas; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambas placas; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

9.    En un capacitor esférico, la esfera conductora maciza tiene radio R y la esfera conductora hueca tiene radio interior 3R. Entre las esferas se colocan dos capas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie esférica que separa ambos dieléctricos tiene radio 2R. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las esferas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre las esferas; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambas esferas conductoras; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

10.  En un capacitor esférico, la esfera conductora maciza tiene radio R y la esfera conductora hueca tiene radio interior 2R. Entre las esferas se colocan dos capas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ de modo que cada una ocupa la mitad del espacio entre las esferas conductoras. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre las esferas conductoras. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre las esferas; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambas esferas conductoras; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

11.  En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio R y el cilindro conductor hueco tiene radio interior 3R. Entre los cilindros se colocan dos capas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ de modo de ocupar todo el espacio; la superficie cilíndrica que separa ambos dieléctricos tiene radio 2R. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre los cilindros conductores. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre los cilindros; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambos cilindros conductores; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

12.  6. En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio R y el cilindro conductor hueco tiene radio interior 2R. Entre los cilindros se colocan dos capas de dieléctricos de permitividades Î₁ y Î₂ de modo que cada uno ocupa la mitad del espacio entre los cilindros conductores. Se establece una diferencia de potencial U₀ entre los cilindros conductores. Hallar: (a) el potencial y el campo eléctrico entre los cilindros; (b) la polarización en ambos dieléctricos; (c) las densidades de carga de polarización en los dos dieléctricos; (d) las cargas eléctricas libres en ambos cilindros conductores; (e) la capacidad del capacitor; (f) la energía potencial eléctrica almacenada.

13.  Resolver los problemas 7 al 12 considerando que el dato NO es la diferencia de potencial U₀ entre los conductores sino las carga +Q y –Q de cada conductor.

14.  Una esfera dieléctrica de radio R y permitividad Î se coloca dentro de un campo eléctrico inicialmente uniforme E₀. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la polarización del dieléctrico; (c) las densidades de carga de polarización y la carga de polarización total.

15.  Un cilindro dieléctrico muy largo de radio R y permitividad Î se coloca dentro de un campo eléctrico inicialmente uniforme E₀. El eje del cilindro es perpendicular al campo eléctrico E_0. Hallar (a) el potencial y el campo eléctrico en cualquier punto del espacio; (b) la polarización del dieléctrico; (c) las densidades de carga de polarización.

16.  Supongamos que el espacio está ocupado por un dieléctrico de permitividad Î. Además hay un campo eléctrico uniforme E₀. Se practica un hueco en el dieléctrico en forma de una cavidad esférica de radio R. Hallar el campo eléctrico dentro de la cavidad esférica.

17.  Una pieza de dieléctrico de permitividad Î tiene la forma de una esfera hueca de radio interior R₁ y radio exterior R₂. En el centro hay una carga puntual +Q. Hallar: (a) el potencial, el campo, el desplazamiento eléctrico y la polarización en cualquier punto del dieléctrico; (b) las densidades de carga de polarización y la carga total de polarización; (c) la energía potencial eléctrica del sistema.

18.  En un capacitor de placas planas y paralelas, las placas conductoras están en x = 0 y x = d. Se rellena todo el espacio entre placas con un dieléctrico cuya permitividad es Î(x) = (Î₂ - Î₁) x /d + Î₁. Hallar la capacidad del capacitor.

19.  En un capacitor cilíndrico de longitud L, el cilindro conductor macizo tiene radio R₁ y está a potencial U₀ mientras que el cilindro conductor hueco tiene radio interior R₂ y está a potencial cero. Entre los cilindros se coloca un dieléctrico de permitividad Î de modo de ocupar todo el espacio. Hallar: (a) el campo eléctrico en la superficie del conductor macizo. (b) Manteniendo fijo el radio R₂ del cilindro hueco, hallar el valor de R₁ para el cual el campo eléctrico en la superficie del cilindro macizo sea mínimo. (c) Hallar dicho campo mínimo.

20.  En un capacitor cilíndrico muy largo, el espacio entre los conductores interior y exterior está lleno con una nube de carga cuya densidad volumétrica está dada por r(r) = A/r para R₁ < r < R₂. El cilindro conductor interior se mantiene a potencial U₀ y es exterior a potencial cero. Hallar el potencial eléctrico en la región de la nube de carga resolviendo la ecuación de Poisson.

 

ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO

ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO

Trata de los fenómenos relacionados con cargas eléctricas con conductores cargados eléctricamente en reposo en el vacío. En estos casos se generan campos vectoriales estáticos (campos eléctricos estáticos) y campos escalares estáticos (potenciales eléctricos estáticos).

Los campos estáticos se caracterizan por no depender del tiempo; a lo más dependen de las variables espaciales. Es decir, el campo electrostático E = E(r)  y el potencial electrostático U = U(r).

Estando las cargas eléctricas en reposo, las densidades de carga no dependen del tiempo sino solamente de las variables espaciales. La densidad volumétrica de carga eléctrica r = r(r) en C/m³, la densidad superficial s = s(r) en C/m² y la densidad lineal de l = l(r) en C/m. En consecuencia, las variaciones en el tiempo del campo y el potencial son iguales a cero.

Por otra parte, al estar en reposo las cargas eléctricas, no hay corrientes eléctricas presentes J = J(r) y por tanto no hay campos magnéticos: B = 0, H = 0.

Debido a que los fenómenos se dan en el vacío, es decir en ausencia de dieléctricos, la relación entre el desplazamiento eléctrico D y el campo eléctrico E será  D = Î_o E donde la permitividad del vacío es Î_o = 9 x 10^-12 F/m

ECUACIONES DE LA ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO

De las ecuaciones de Maxwell se deduce las siguientes ecuaciones diferenciales:

Î_o Ñ. E = r

Ñ x E = 0

Aplicando los teoremas de la divergencia y de Stokes obtenemos las ecuaciones integrales respectivas:

La primera ecuación es la expresión de lo que en Física General se denominó ley de Gauss y que ahora es solamente una propiedad deducida de las ecuaciones de Maxwell. En la ecuación integral la superficie S es una superficie cerrada cuya forma es arbitraria y que en consecuencia se elige de modo conveniente según la geometría de cada problema. El vector unitario n es un vector normal a la superficie cerrada S apuntando hacia el exterior. Por otra parte, V representa el volumen encerrado por la superficie cerrada S.

El significado de la primera ecuación es que las líneas del campo electrostático son siempre líneas abiertas que nacen de una carga positiva y llegan a una negativa. En caso que solamente hubiera cargas positivas o cargas negativas, las líneas de campo son abiertas y van hacia el infinito o proceden de allí. Equivalentemente, el significado de la primera ecuación es que los monopolos eléctricos sí existen; es decir que se pueden aislar cargas eléctricas positivas o negativas.

La segunda ecuación expresa que el campo electrostático es conservativo; es decir, que el trabajo en trasladar una carga eléctrica dentro de un campo electrostático no depende de la trayectoria seguida sino solamente de los puntos de partida y de llegada. Lo equivalente a esto último es que el trabajo en trasladar una carga eléctrica dentro del campo electrostático a lo largo de una trayectoria cerrada es siempre cero.

La integral de E . n dA sobre la superficie S, representa el flujo eléctrico que atraviesa la superficie S y que está relacionado con las líneas de campo que atraviesan S.

La integral de la densidad de carga representa la carga eléctrica neta encerrada por la superficie S y que yace en el volumen V.

En consecuencia la ley de Gauss establece que el flujo eléctrico que cruza la superficie S es proporcional a la carga eléctrica encerrada por S.

CAMPO DE UNA CARGA ELÉCTRICA

Sea una carga eléctrica q en reposo en el vacío. Aplicando ley de Gauss para una superficie S esférica de radio r con centro en la carga se obtiene:

Î_o E 4p r² = q

E = q / 4pÎ_o r²      para todo r > 0

El campo eléctrico cerca de la carga es intenso y luego decrece rápidamente con el cuadrado de la distancia a la carga. Cuando la distancia r tiende al infinito el campo tiende a cero, lo cual satisface la necesidad que el campo eléctrico E creado por una distribución de carga sea finito y único para cada punto del espacio.

La ley de Gauss constituye un camino para determinar campos creados por distribuciones de carga que guarden la simetría apropiada que permita sacar de la integral el módulo del campo eléctrico.

CAMPO ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA

Dada una distribución de carga, se puede determinar el campo eléctrico producido por ella tomando un diferencial de carga dq en una posición general dentro de la distribución de carga y usando el resultado anterior:

dE = dq / 4pÎ_o r²

Debido al carácter vectorial del campo eléctrico, se puede obtener cada componente de E usando integrales de funciones escalares.

La otra posibilidad es realizar un análisis previo de la dirección final del campo eléctrico buscado en un problema determinado, para luego decidir si con una o dos integrales de funciones escalares se obtiene el campo buscado.

POTENCIAL ELÉCTROSTÁTICO

Usando una propiedad vectorial, de la ecuación Ñ x E = 0 se puede deducir que:

E = - Ñ U

La función escalar U(r) es el potencial electrostático que se mide en voltios (V). El potencial eléctrico es por tanto un campo escalar de manera que U sea finito y único para cada punto del espacio.

Se ha elegido el signo negativo con el fin que el campo eléctrico E apunte en la dirección decreciente del potencial eléctrico U.

Es claro que si conociéramos el potencial eléctrico U para puntos de una región del espacio, podemos determinar el campo eléctrico de E = - Ñ U para los puntos de esa región.

De la ecuación E = - Ñ U podemos deducir:

E . dr = - Ñ U . dr  = - dU

Integrando sobre una línea abierta desde un punto de referencia hasta un punto P obtenemos:

U_P – U_ref = - integral de E . dr

Tomando U_ref = 0 obtenemos que:

U_P = -integral de E . dr desde el punto de referencia hasta el punto P   

Esta expresión permite determinar el potencial eléctrico en un punto cualquiera a partir de una integral de línea desde un punto de referencia que puede tomarse en cualquier lugar del espacio. Lo único que se manifiesta físicamente es la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos, la cual no depende de dónde se toma el punto de referencia.

POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA CARGA

Sabemos que el campo creado por una carga q está dado por:

E = q / 4pÎ_o r² para todo r > 0 en la dirección radial:  E = E u_r

Tomado el gradiente de este campo y anteponiendo el signo negativo tendremos:

U = q / 4pÎ_o r      para todo r > 0

Es obvio que en este caso el punto de referencia está en el infinito. Si la carga es positiva, el potencial también lo será en todos los puntos del espacio. En caso que la carga fuese negativa, el potencial será también negativo en todos los puntos del espacio.

POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA

En estos casos se toma un diferencial de carga dq que producirá un diferencial de potencial eléctrico dU dado por:

dU = dq / 4pÎ_o r      para todo r > 0

Siendo el potencial eléctrico un escalar, se puede determinar U haciendo una integral sobre toda la distribución de carga.

PROPIEDADES DEL CAMPO Y EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO

Se puede demostrar usando las ecuaciones de la electrostática un conjunto de propiedades que es conveniente recordar.

En condiciones electrostáticas:

1.    La carga eléctrica en un conductor se distribuye solamente en su superficie. En estos casos se tendrá una densidad superficial de carga s = s(r) en C/m².

2.    La densidad superficial de carga en conductores cargados es inversamente proporcional al radio de curvatura de la superficie. Esto quiere decir que siendo el radio de curvatura muy pequeño en las puntas, en ellas se concentra una gran cantidad de carga eléctrica.

3.    El campo eléctrico dentro de un conductor es siempre cero.

4.    El campo eléctrico en la superficie de un conductor no es cero y es normal a la superficie.

5.    El valor del campo eléctrico en la superficie de un conductor es proporcional a la densidad superficial de carga que hay en ella:  E_S = s / Î_o

6.    El potencial eléctrico es el mismo en todos los puntos de la superficie de un conductor. Por tanto, la superficie de un conductor es una superficie equipotencial.

7.    El potencial eléctrico dentro de un conductor es el mismo que en la superficie.