ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
Trata de los
fenómenos relacionados con cargas eléctricas con conductores cargados
eléctricamente en reposo en el vacío. En estos casos se generan campos
vectoriales estáticos (campos eléctricos estáticos) y campos escalares estáticos
(potenciales eléctricos estáticos).
Los campos
estáticos se caracterizan por no depender del tiempo; a lo más dependen de las
variables espaciales. Es decir, el campo electrostático E = E(r)
y el potencial electrostático U = U(r).
Estando las cargas
eléctricas en reposo, las densidades de carga no dependen del tiempo sino
solamente de las variables espaciales. La densidad volumétrica de carga
eléctrica r = r(r)
en C/m3, la densidad superficial s = s(r)
en C/m2 y la densidad lineal de l = l(r)
en C/m. En consecuencia, las variaciones en el tiempo del campo y el potencial
son iguales a cero.
Por otra
parte, al estar en reposo las cargas eléctricas, no hay corrientes eléctricas
presentes J = J(r) y por tanto no hay
campos magnéticos: B = 0, H = 0.
Debido a que
los fenómenos se dan en el vacío, es decir en ausencia de dieléctricos, la
relación entre el desplazamiento eléctrico D y el campo eléctrico E será D
= Îo E
donde la permitividad del vacío es Îo = 9 x 10-12 F/m
ECUACIONES DE LA ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
De las
ecuaciones de Maxwell se deduce las siguientes ecuaciones diferenciales:
Îo Ñ.
E = r
Ñ x E = 0
Aplicando los
teoremas de la divergencia y de Stokes obtenemos las ecuaciones integrales
respectivas:
La primera ecuación es
la expresión de lo que en Física General se denominó ley de Gauss y que ahora
es solamente una propiedad deducida de las ecuaciones de Maxwell. En la
ecuación integral la superficie S es una superficie cerrada cuya forma es
arbitraria y que en consecuencia se elige de modo conveniente según la
geometría de cada problema. El vector unitario n es un vector normal a la superficie cerrada S apuntando hacia el
exterior. Por otra parte, V representa el volumen encerrado por la superficie
cerrada S.
El significado de la
primera ecuación es que las líneas del campo electrostático son siempre líneas
abiertas que nacen de una carga positiva y llegan a una negativa. En caso que
solamente hubiera cargas positivas o cargas negativas, las líneas de campo son
abiertas y van hacia el infinito o proceden de allí. Equivalentemente, el
significado de la primera ecuación es que los monopolos eléctricos sí existen;
es decir que se pueden aislar cargas eléctricas positivas o negativas.
La segunda ecuación
expresa que el campo electrostático es conservativo; es decir, que el trabajo
en trasladar una carga eléctrica dentro de un campo electrostático no depende
de la trayectoria seguida sino solamente de los puntos de partida y de llegada.
Lo equivalente a esto último es que el trabajo en trasladar una carga eléctrica
dentro del campo electrostático a lo largo de una trayectoria cerrada es
siempre cero.
La integral de E . n dA sobre la superficie S, representa el flujo
eléctrico que atraviesa la superficie S y que está relacionado con las líneas
de campo que atraviesan S.
La integral de la densidad de carga representa la carga eléctrica neta encerrada por la superficie S y que yace en el volumen V.
En consecuencia la ley
de Gauss establece que el flujo eléctrico que cruza la superficie S es
proporcional a la carga eléctrica encerrada por S.
CAMPO DE UNA CARGA
ELÉCTRICA
Sea una carga eléctrica
q en reposo en el vacío. Aplicando ley de Gauss para una superficie S esférica
de radio r con centro en la carga se obtiene:
Îo E 4p r2 = q
E = q / 4pÎo r2 para
todo r > 0
El campo eléctrico
cerca de la carga es intenso y luego decrece rápidamente con el cuadrado de la distancia
a la carga. Cuando la distancia r tiende al infinito el campo tiende a cero, lo
cual satisface la necesidad que el campo eléctrico E creado por una
distribución de carga sea finito y único para cada punto del espacio.
La ley de Gauss
constituye un camino para determinar campos creados por distribuciones de carga
que guarden la simetría apropiada que permita sacar de la integral el módulo
del campo eléctrico.
CAMPO ELÉCTRICO DE UNA
DISTRIBUCIÓN DE CARGA
Dada una distribución
de carga, se puede determinar el campo eléctrico producido por ella tomando un
diferencial de carga dq en una posición general dentro de la distribución de
carga y usando el resultado anterior:
dE = dq / 4pÎo r2
Debido al carácter
vectorial del campo eléctrico, se puede obtener cada componente de E usando integrales de funciones
escalares.
La otra posibilidad es
realizar un análisis previo de la dirección final del campo eléctrico buscado
en un problema determinado, para luego decidir si con una o dos integrales de
funciones escalares se obtiene el campo buscado.
POTENCIAL
ELÉCTROSTÁTICO
Usando una propiedad
vectorial, de la ecuación Ñ
x E = 0 se puede deducir que:
E = - Ñ
U
La función escalar U(r) es el potencial electrostático que
se mide en voltios (V). El potencial eléctrico es por tanto un campo escalar de
manera que U sea finito y único para cada punto del espacio.
Se ha elegido el signo
negativo con el fin que el campo eléctrico E apunte en la dirección decreciente
del potencial eléctrico U.
Es claro que si
conociéramos el potencial eléctrico U para puntos de una región del espacio,
podemos determinar el campo eléctrico de E = - Ñ U para los puntos de esa región.
De la ecuación E = - Ñ U podemos deducir:
E . dr = - Ñ U . dr = - dU
Integrando
sobre una línea abierta desde un punto de referencia hasta un punto P
obtenemos:
UP – Uref = - integral de E . dr
Tomando Uref = 0 obtenemos que:
UP
= -integral de E . dr desde el punto de referencia hasta el punto P
Esta expresión permite
determinar el potencial eléctrico en un punto cualquiera a partir de una
integral de línea desde un punto de referencia que puede tomarse en cualquier
lugar del espacio. Lo único que se manifiesta físicamente es la diferencia de
potencial eléctrico entre dos puntos, la cual no depende de dónde se toma el
punto de referencia.
POTENCIAL ELÉCTRICO DE
UNA CARGA
Sabemos que el campo
creado por una carga q está dado por:
E = q / 4pÎo r2 para todo r > 0 en la dirección radial: E
= E ur
Tomado el gradiente de
este campo y anteponiendo el signo negativo tendremos:
U = q / 4pÎo r para todo r > 0
Es obvio que en este
caso el punto de referencia está en el infinito. Si la carga es positiva, el
potencial también lo será en todos los puntos del espacio. En caso que la carga
fuese negativa, el potencial será también negativo en todos los puntos del
espacio.
POTENCIAL ELÉCTRICO DE
UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA
En estos casos se toma
un diferencial de carga dq que producirá un diferencial de potencial eléctrico
dU dado por:
dU = dq / 4pÎo r para todo r > 0
Siendo el potencial
eléctrico un escalar, se puede determinar U haciendo una integral sobre toda la
distribución de carga.
PROPIEDADES DEL CAMPO Y
EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
Se puede demostrar
usando las ecuaciones de la electrostática un conjunto de propiedades que es
conveniente recordar.
En condiciones
electrostáticas:
1.
La
carga eléctrica en un conductor se distribuye solamente en su superficie. En
estos casos se tendrá una densidad superficial de carga s = s(r)
en C/m2.
2.
La
densidad superficial de carga en conductores cargados es inversamente
proporcional al radio de curvatura de la superficie. Esto quiere decir que
siendo el radio de curvatura muy pequeño en las puntas, en ellas se concentra
una gran cantidad de carga eléctrica.
3.
El
campo eléctrico dentro de un conductor es siempre cero.
4.
El
campo eléctrico en la superficie de un conductor no es cero y es normal a la
superficie.
5.
El
valor del campo eléctrico en la superficie de un conductor es proporcional a la
densidad superficial de carga que hay en ella:
ES = s / Îo
6.
El
potencial eléctrico es el mismo en todos los puntos de la superficie de un
conductor. Por tanto, la superficie de un conductor es una superficie
equipotencial.
7.
El
potencial eléctrico dentro de un conductor es el mismo que en la superficie.
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